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Studio di Funzione

Asintoti, Massimi, Minimi e Flessi passo dopo passo

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Cos'è un Asintoto?
Un asintoto è una retta verso la quale il grafico della funzione "si avvicina sempre di più" all'infinito, senza mai toccarla (o toccandola solo all'infinito). Esistono tre tipi di asintoti: Verticali, Orizzontali ed Obliqui.
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Asintoto Verticale (A.V.)
Si cerca nei punti x₀ esclusi dal dominio (es. zeri del denominatore). Se limx→x₀ f(x) = ∞ La retta d'equazione x = x₀ è un ASINTOTO VERTICALE.
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Asintoto Orizzontale (A.O.)
Si studia il comportamento della funzione agli estremi del dominio (per x che tende a ±∞). Se limx→±∞ f(x) = L La retta d'equazione y = L (dove L è un numero reale) è un ASINTOTO ORIZZONTALE.

• Se c'è un asintoto orizzontale a +∞, non c'è asintoto obliquo da quella parte.

⟍
Asintoto Obliquo (A.Ob.)
Esiste solo se per x→∞ la funzione diverge a ∞.
È una retta y = mx + q dove: m = limx→∞ [ f(x) / x ]   (con m ≠ 0, m ≠ ∞) q = limx→∞ [ f(x) - mx ]
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La Derivata Prima f '(x) e la Monotonia
La derivata prima geometricamente rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in ogni punto del grafico. Studiando il segno di f '(x) possiamo scoprire dove la funzione sale, scende e dove "si ferma".

↗️ Crescenza

Se f '(x) > 0

La funzione è strettamente crescente (sale).

↘️ Decrescenza

Se f '(x) < 0

La funzione è strettamente decrescente (scende).

⏸️ Punti Stazionari

Se f '(x) = 0

Punto in cui la tangente è orizzontale.
🎯
Classificazione Punti Stazionari: Massimi e Minimi
Risolvendo l'equazione f '(x) = 0 si trovano le ascisse "x" dei punti sospetti. Per capire di cosa si tratta, si fa lo studio del segno di f '(x):

PUNTO DI MASSIMO (M)

+ + + | - - -
↗ • ↘

La derivata passa da postiva a negativa (prima sale, poi scende).

PUNTO DI MINIMO (m)

- - - | + + +
↘ • ↗

La derivata passa da negativa a positiva (prima scende, poi sale).

FLESSO TG. ORIZZON.

+ + + | + + +
↗ • ↗

Il segno della derivata non cambia (si "appiatisce" solo per un attimo, poi continua uguale).

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Derivata Seconda f "(x) e Concavità
La derivata seconda è "la derivata della derivata". Ci indica la curvatura del grafico. Studiando il segno di f "(x) > 0 scopriamo come la curva si piega.
  • Se f "(x) > 0: La concavità è rivolta verso l'ALTO (forma a "U" - "sorride").
  • Se f "(x) < 0: La concavità è rivolta verso il BASSO (forma a campana - "triste").
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Punti di Flesso
Un punto F si definisce di flesso se in quel punto la funzione "attraversa" la sua retta tangente o, detto altrimenti, cambia la sua concavità.

Per trovare le ascisse dei flessi basta:
1. Risolvere l'equazione f "(x) = 0.
2. Studiare il segno di f "(x). Se prima dell'azzeramento è positivo e dopo è negativo (o viceversa), abbiamo trovato un flesso.
3. I flessi a tangente obliqua compaiono dove f'(x) ≠ 0 , quelli a tangente orizzontale (visti al punto precedente) dove f'(x) = 0.

x y
● Max Relativo
● Min Relativo
● Flesso
⚙️
Polinomio Cubico
f(x) =
Coeff. a (x³)1
Coeff. b (x²)0
Coeff. c (x)-3
Termine as. d0
f '(x) = ...
Cerca f '(x)=0 → Radici:
...
f "(x) = ...
Cerca f "(x)=0 → Radice (Flesso):
...