I 5 Prodotti Notevoli: Teoria ed Esercizi

1. Quadrato di Binomio

Il quadrato della somma (o differenza) di due monomi è uguale al quadrato del primo, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo.

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Esempio: (x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9

2. Somma per Differenza

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo meno il quadrato del secondo.

(a + b)(a - b) = a² - b²

Esempio: (2x + 5)(2x - 5) = (2x)² - 5² = 4x² - 25

3. Cubo di Binomio

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo.

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Esempio: (x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

4. Quadrato di Trinomio

Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini, più il doppio prodotto di ciascun termine per ognuno di quelli che lo seguono.

(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Esempio: (x+y+1)² = x²+y²+1²+2xy+2x+2y

5. Trinomio Caratteristico

Prodotto di due binomi con un termine in comune (somma-prodotto). Il coefficiente di x è la somma dei termini noti, il termine noto è il loro prodotto.

(x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab

Esempio: (x + 3)(x + 4) = x² + (3+4)x + (3·4) = x² + 7x + 12

Esercizio A (Quadrato)

Svolgi: (3x - 2y)²

(3x)² - 2(3x)(2y) + (2y)² =
9x² - 12xy + 4y²

Esercizio B (Differenza Quadrati)

Svolgi: (x² + y)(x² - y)

(x²)² - (y)² =
x⁴ - y²

Esercizio C (Cubo)

Svolgi: (2a + 1)³

(2a)³ + 3(2a)²(1) + 3(2a)(1)² + 1³ =
8a³ + 3(4a²) + 6a + 1 =
8a³ + 12a² + 6a + 1

Esercizio D (Quadrato Trinomio)

Svolgi: (a - b + c)²

a² + (-b)² + c² + 2(a)(-b) + 2(a)(c) + 2(-b)(c) =
a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc

Esercizio E (Misto)

Svolgi: (x - 5)(x + 2)

Somma: -5 + 2 = -3
Prodotto: -5 · 2 = -10
x² - 3x - 10