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Piano Cartesiano e Retta

Dalle coordinate dei punti alle equazioni e proprietà delle rette nel piano

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Il Piano Cartesiano e le Coordinate
Il piano cartesiano è formato da due rette orientate perpendicolari: l'asse delle ascisse (asse \( x \)) e l'asse delle ordinate (asse \( y \)). Si incrociano in un punto chiamato Origine \( O(0, 0) \).

Ogni punto nel piano è identificato in modo univoco da due coordinate:
\[ P(x_P; y_P) \]
x y O A(2; 4) B(6; 1)
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Il Punto Medio
Dati due punti \( A(x_1; y_1) \) e \( B(x_2; y_2) \), il punto medio \( M \) del segmento \( AB \) ha coordinate che sono la media aritmetica delle coordinate degli estremi.
\[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \]
\[ y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
Esempio: Calcolo del Punto Medio
Trovare il punto medio \( M \) del segmento avente per estremi \( A(-2; 3) \) e \( B(4; 7) \).
Ascissa del punto medio
\( x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Ordinata del punto medio
\( y_M = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
Risultato Finale
\[ M(1; 5) \]
🚀 Mostra un altro esercizio da risolvere...

Problema: Calcola il punto medio del segmento con estremi \( C(3; -5) \) e \( D(-1; -1) \).

Soluzione
\( x_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_M = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Punto Medio: \( M(1; -3) \)
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Retta: Forma Implicita ed Esplicita
L'equazione di una retta nel piano si può presentare sotto due forme principali.

Forma Implicita:
\[ ax + by + c = 0 \]
Forma Esplicita (se \( b \neq 0 \)):
\[ y = mx + q \]
Dove \( m = -\frac{a}{b} \) è il coefficiente angolare (pendenza) e \( q = -\frac{c}{b} \) è l'intercetta (punto di intersezione con l'asse y).
Esempio: Dalla forma implicita a quella esplicita
Trasformare in forma esplicita l'equazione implicita \( 2x - 3y + 6 = 0 \).
Isolare la y
Se esplicitiamo la \( y \), spostiamo gli altri termini:
\( -3y = -2x - 6 \)
Dividere per il coefficiente di y
Dividiamo tutto per -3:
\( y = \frac{-2x}{-3} - \frac{6}{-3} \)
Risultato Finale
\[ y = \frac{2}{3}x + 2 \]
In questo caso \( m = \frac{2}{3} \) e \( q = 2 \).
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Rette Passanti per l'Origine e Non
Rette passanti per l'origine: Non hanno termine noto (intercetta zero, \( q = 0 \)). La loro equazione assume la forma semplice proporzionale.
\[ y = mx \]

Rette non passanti per l'origine: Hanno intercetta diversa da zero (\( q \neq 0 \)). Tagliano l'asse y nel punto di coordinate \( (0; q) \).
\[ y = mx + q \]
Esercizio Pratico
Data l'equazione \( y = 3x \), verifica che passi per l'origine, dopodiché trova la retta ad essa parallela avente intercetta 5.
1. Verifica passaggio per l'origine
Sostituiamo le coordinate dell'origine \( O(0; 0) \) nell'equazione:
\( 0 = 3 \cdot 0 \implies 0 = 0 \) (Vero, dunque passa per l'origine).
2. Costruzione retta traslata (non passante per origine)
La pendenza rimane la stessa (\( m = 3 \)) affinché sia parallela, ma l'intercetta diventa \( q = 5 \).
Risultato Finale
\[ y = 3x + 5 \]
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Determinare l'Equazione di una Retta da 2 Punti
Per due punti distinti \( A(x_1; y_1) \) e \( B(x_2; y_2) \) passa una e una sola retta. L'equazione può essere calcolata uguagliando i rapporti di proporzionalità (solo se i punti non sono allineati orizzontalmente o verticalmente):
\[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]
Esercizio: Calcolare la retta passante per \( A(1; 3) \) e \( B(4; 9) \)
Identificare Coordinate
\( x_1 = 1 ,\quad y_1 = 3 \) (punto A)
\( x_2 = 4 ,\quad y_2 = 9 \) (punto B)
Sostituzione nella Formula
\[ \frac{y - 3}{9 - 3} = \frac{x - 1}{4 - 1} \]
Semplificazione e Isolamento di y
Denominatori: \( 9 - 3 = 6 \) e \( 4 - 1 = 3 \).
\( \frac{y - 3}{6} = \frac{x - 1}{3} \)

Moltiplico entrambi i membri per 6 per rimuovere i denominatori:
\( y - 3 = 2(x - 1) \)
\( y - 3 = 2x - 2 \)
Risultato Finale
Spostando il -3, si ottiene:
\[ y = 2x + 1 \]
🚀 Mostra un altro problema esplicativo...

Problema: Trova l'equazione della retta che passa per \( P(-2; 1) \) e \( Q(2; -7) \).

Soluzione Guidata
Applichiamo la formula dei due punti:
\[ \frac{y - 1}{-7 - 1} = \frac{x - (-2)}{2 - (-2)} \]
Semplificando i denominatori e i segni:
\( \frac{y - 1}{-8} = \frac{x + 2}{4} \)

Moltiplichiamo tutto per \(-8\) per isolare il numeratore di sinistra:
\( y - 1 = -2(x + 2) \implies y - 1 = -2x - 4 \)
Retta in forma esplicita: \( y = -2x - 3 \)
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Rette Parallele
Due rette \( y = m_1 x + q_1 \) e \( y = m_2 x + q_2 \) sono parallele se e solo se i loro coefficienti angolari sono uguali:
\[ m_1 = m_2 \]
Esercizio Guidato (Parallele)
Scrivere l'equazione della retta passante per il punto \( P(1; 5) \) e parallela alla retta \( y = 3x - 1 \).
Trovare m
La retta data ha \( m = 3 \). Avendo stesso coeff. angolare, la nuova retta avrà \( m' = 3 \). Formato: \( y = 3x + q \).
Imporre il passaggio per il punto P
Sostituiamo le coordinate \( P(1; 5) \) nell'equazione: \( 5 = 3(1) + q \).
\( 5 = 3 + q \implies q = 5 - 3 = 2 \).
Risultato Finale
\[ y = 3x + 2 \]
x y O y = 3x - 1 y = 3x + 2 P(1; 5)
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Rette Perpendicolari
Due rette sono perpendicolari (si incrociano a 90°) se ciascun coefficiente angolare è l'antireciproco dell'altro, ovvero:
\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = -\frac{1}{m_1} \]
Esercizio Guidato (Perpendicolari)
Trovare la retta perpendicolare a \( y = \frac{1}{2}x + 4 \) passante per \( A(-1; 3) \).
Calcolo di m perpendicolare
La pendenza originale è \( m_1 = \frac{1}{2} \).
L'antireciproco è il suo opposto invertito: \( m_2 = -2 \).
Imporre il passaggio per A
Uso l'equazione generica \( y = -2x + q \).
Sostituisco \( x = -1 \) e \( y = 3 \):
\( 3 = -2(-1) + q \implies 3 = 2 + q \implies q = 1 \).
Risultato Finale
\[ y = -2x + 1 \]
x y O y = 1/2x + 4 y = -2x + 1 A(-1; 3)
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Fasci di Rette
Un fascio improprio è un insieme di rette tutte parallele fra loro (stesso \( m \) ma \( q \) variabile, es: \( y = 2x + k \)).

Un fascio proprio è l'insieme di rette passanti tutte per uno stesso punto chiamato centro del fascio \( P(x_0; y_0) \).
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
Esempio: Usare il fascio passante per un punto
Trova la retta passante per \( C(3; -2) \) e con pendenza \( m = 4 \).
Uso della formula del fascio
Sostituiamo il punto \( C \) e il coefficiente angolare \( m = 4 \) nella formula.
\[ y - (-2) = 4(x - 3) \]
Calcoli
\( y + 2 = 4x - 12 \implies y = 4x - 14 \)
Risultato Finale
\[ y = 4x - 14 \]
x y O y = 4x - 14 C(3; -2)
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Distanza Punto-Retta
La distanza \( d \) di un punto \( P(x_0; y_0) \) da una retta in forma implicita (\( ax + by + c = 0 \)) si calcola con la formula della distanza euclidea:
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Esercizio: Calcolo distanza punto-retta
Calcola la distanza tra il punto \( P(1; 3) \) e la retta \( 3x - 4y + 5 = 0 \).
Identificare Dati
\( x_0 = 1, y_0 = 3 \).
Dalla retta: \( a = 3, b = -4, c = 5 \).
Applicazione Numeratore (Modulo)
Calcoliamo l'espressione: \( 3(1) - 4(3) + 5 = 3 - 12 + 5 = -4 \).
Applichiamo il modulo: \( |-4| = 4 \).
Applicazione Denominatore (Radice)
Calcoliamo: \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \).
Risultato Finale
\[ d = \frac{4}{5} \]
🚀 Misurati con un'altra distanza...

Problema: Calcola la distanza tra l'origine \( O(0; 0) \) e la retta \( 5x - 12y + 26 = 0 \).

Soluzione
Abbiamo \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0 \), e per la retta \( a = 5 \), \( b = -12 \), \( c = 26 \).

Il modulo al numeratore sarà: \( |5(0) - 12(0) + 26| = 26 \).
La radice al denominatore: \( \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \).
Distanza: \( d = \frac{26}{13} = 2 \)