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La Parabola

Luogo geometrico, equazioni canoniche e tangenti

🎯
Definizione di Luogo Geometrico
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto Fuoco (F) e da una retta fissa detta Direttrice (d). PF = dist(P, d)
∆
Cos'è il Delta (Discriminante)?
In tutte le formule che seguono compare il termine Δ (Delta): Δ = b² - 4ac È un valore fondamentale che determina anche le intersezioni della parabola con gli assi cartesiani.
↕️
Asse Parallelo all'Asse Y
È la forma classica (funzione). Se a > 0 concavità verso l'alto ∪, se a < 0 concavità verso il basso ∩. y = ax² + bx + c

📍 Vertice (V)

V ( -b / 2a ; -Δ / 4a )

🔥 Fuoco (F)

F ( -b / 2a ; (1 - Δ) / 4a )

➖ Direttrice (Retta d)

y = (-1 - Δ) / 4a

➗ Asse di Simmetria

x = -b / 2a
↔️
Asse Parallelo all'Asse X
In questo caso la parabola "abbraccia" l'asse x. Se a > 0 concavità verso destra ⊂, se a < 0 concavità verso sinistra ⊃. x = ay² + by + c

📍 Vertice (V)

V ( -Δ / 4a ; -b / 2a )

🔥 Fuoco (F)

F ( (1 - Δ) / 4a ; -b / 2a )

➖ Direttrice (Retta d)

x = (-1 - Δ) / 4a

➗ Asse di Simmetria

y = -b / 2a
3️⃣
Condizione Passaggio per 3 Punti
Per determinare a, b e c serve impostare un sistema di 3 equazioni in 3 incognite.

Se abbiamo tre punti A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) e C(x₃, y₃), sostituiamo le loro coordinate nell'equazione generale y = ax² + bx + c:
  1. y₁ = a(x₁)² + b(x₁) + c
  2. y₂ = a(x₂)² + b(x₂) + c
  3. y₃ = a(x₃)² + b(x₃) + c
🧩
Noti Vertice, Fuoco, Direttrice o Tangente
Se il problema fornisce Vertice, Fuoco, asse o direttrice, bisogna usare le formule corrispondenti da mettere a sistema.
Esempio: Vertice V(xv, yv) e un punto P(xp, yp).
  1. L'ascissa del vertice ci dà: -b/2a = xv
  2. L'ordinata del vertice: -Δ/4a = yv oppure il passaggio yv = a(xv)² + b(xv) + c
  3. Il passaggio per P: yp = a(xp)² + b(xp) + c
Parabola Tangente a una retta nota (y = mx + q)
Se il problema impone che la parabola sia tangente alla retta nota, questa è un'ulteriore condizione (equazione) da inserire nel sistema.
Si ottiene mettendo a sistema la retta e l'equazione generale della parabola e imponendo Δ = 0.
ax² + (b - m)x + (c - q) = 0 👉 Δ = (b - m)² - 4a(c - q) = 0 Questo genera la terza equazione del sistema per trovare a, b e c.
📏
Determinare le Rette Tangenti
Ci sono due casistiche principali per trovare la tangente a una parabola:

1. Tangente da punto ESTERNO o direzione data

Si scrive il fascio di rette passante per il punto generico (o con m fisso):
y - y₀ = m(x - x₀)

Si mette a sistema con la parabola:
{ y = mx - mx₀ + y₀
{ y = ax² + bx + c

Sostituendo si ottiene un'equazione di 2° grado in x. Si impone la condizione di tangenza:
Δ = 0 Da cui si ricava il coefficiente m.

2. Regola dello Sdoppiamento (Punto della Parabola)

Se il punto P(x₀, y₀) appartiene già alla parabola, si usa una regola veloce!
Nell'equazione y = ax² + bx + c, si sostituiscono le variabili come segue:
  • y diventa (y + y₀) / 2
  • x² diventa x · x₀
  • x diventa (x + x₀) / 2
Ed ecco l'equazione della retta tangente bella pronta in un solo passaggio!
🌪️
Fasci di Parabole
Un fascio di parabole è generato dalla combinazione lineare di due parabole dette generatrici.
Equazione del fascio con parametro k: (y - a₁x² - b₁x - c₁) + k(y - a₂x² - b₂x - c₂) = 0 I punti base si trovano ponendo a sistema le due generatrici.
Punti Base
I punti base sono i punti per i quali passano tutte le parabole del fascio. A seconda delle intersezioni tra le generatrici:
  • 2 punti base reali e distinti: Fasci secanti
  • 2 punti base coincidenti (1 solo punto reale): Fasci tangenti
  • Nessun punto base: Tutte le parabole sono separate/non si intersecano
Parabole Degeneri
Sono parabole del fascio che degenerano in rette.
Si ottengono raccogliendo i termini tra parentesi del fascio.
  • Parabola degenere "asse x" o retta passante per i punti base (annullando il termine di 2° grado ponendo coeff. di x² = 0, se esiste k).
  • La generatrice 2 se facciamo limite per k → ∞.
x y V F
⚙️
Parametri e Asse
Asse Parallelo a: Y X
y = 1x² + 0x + 0
Apertura (a)1.0
Pendenza (b)0.0
Quota (c)0.0
Vertice: V( 0.0 ; 0.0 )
Fuoco: F( 0.0 ; 0.25 )
Direttrice: y = -0.25
1️⃣
Trovare Vertice, Fuoco e Direttrice
Data la parabola di equazione y = x² - 4x + 3, trova le coordinate del vertice, le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice.
I coefficienti sono: a = 1, b = -4, c = 3.

1. Calcoliamo il Delta (Δ):
Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4

2. Vertice (V):
Xv = -b / 2a = -(-4) / 2(1) = 4/2 = 2
Yv = -Δ / 4a = -4 / 4(1) = -1
V( 2 ; -1 )

3. Fuoco (F):
Xf = Xv = 2
Yf = (1 - Δ) / 4a = (1 - 4) / 4(1) = -3/4
F( 2 ; -3/4 )

4. Direttrice:
y = (-1 - Δ) / 4a = (-1 - 4) / 4(1) = -5/4 => y = -5/4
2️⃣
Equazione passante per tre punti
Trova l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante per i punti: A(0, 3), B(1, 0) e C(2, -1).
L'equazione cercata è del tipo y = ax² + bx + c.

1. Sostituiamo le coordinate dei tre punti nell'equazione generale creando un sistema 3x3:
Passaggio per A(0, 3): 3 = a(0)² + b(0) + c => c = 3
Passaggio per B(1, 0): 0 = a(1)² + b(1) + c => a + b + c = 0
Passaggio per C(2, -1): -1 = a(2)² + b(2) + c => 4a + 2b + c = -1

2. Sostituendo c = 3 nelle altre due equazioni:
{ a + b + 3 = 0 => b = -a - 3
{ 4a + 2b + 3 = -1

3. Sostituendo b nella seconda:
4a + 2(-a - 3) + 3 = -1
4a - 2a - 6 + 3 = -1
2a - 3 = -1 => 2a = 2 => a = 1

4. Ricaviamo b:
b = -a - 3 = -1 - 3 = -4

L'equazione della parabola è:
y = x² - 4x + 3
3️⃣
Retta Tangente con Sdoppiamento
Trova l'equazione della retta tangente alla parabola y = x² - 4x + 3 nel suo punto P(3, 0) usando la regola dello sdoppiamento.
Prima verifichiamo che P(3, 0) appartenga alla parabola: 0 = 3² - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0. Apparetiene!

Applichiamo la Regola dello Sdoppiamento, sostituendo le incognite:
- y → (y + y₀)/2 = (y + 0)/2 = y/2
- x² → x · x₀ = x · 3 = 3x
- x → (x + x₀)/2 = (x + 3)/2

Sostituiamo nell'equazione:
y/2 = 3x - 4 · (x + 3)/2 + 3
y/2 = 3x - 2(x + 3) + 3
y/2 = 3x - 2x - 6 + 3
y/2 = x - 3

Moltiplicando tutto per 2:
y = 2x - 6
4️⃣
Punti Base di un Fascio di Parabole
Dato il fascio di parabole di equazione: y = kx² + (1 - 2k)x + k + 2. Trova i punti base del fascio.
Per trovare i punti base, dobbiamo determinare le parabole generatrici del fascio. Raccogliamo rispetto al parametro k:

y = x + 2 + k(x² - 2x + 1)

Il fascio è generato dalla retta (parabola degenere) y = x + 2 e dalla parabola (o parte con il parametro k) associata all'equazione x² - 2x + 1 = 0.

1. Poniamo a sistema la parte senza k e la parte moltiplicata per k (pari a 0):
{ y = x + 2
{ x² - 2x + 1 = 0

2. Risolviamo la seconda equazione:
(x - 1)² = 0 => x = 1 (soluzione doppia)

3. Sostituiamo x = 1 nella prima equazione (y = x + 2):
y = 1 + 2 = 3

Quindi il fascio ha un solo punto base (i punti base sono coincidenti, fascio di parabole tangenti):
P( 1 ; 3 )