Logaritmi: Teoria, Grafici ed Esercizi

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Definizione

Il logaritmo in base a di un numero b è l'esponente da dare ad a per ottenere b. log_a(b) = x ⇔ a^x = b Condizioni di esistenza:

Base: a > 0 e a ≠ 1
Argomento: b > 0

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Logaritmo Naturale

Si chiama logaritmo naturale il logaritmo con base e (numero di Nepere ≈ 2.718). ln(x) = log_e(x) Relazione fondamentale: y = ln(x) ⇔ x = e^y

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Proprietà Fondamentali

Prodotto

log_a(b · c) = log_a(b) + log_a(c)

Quoziente

log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)

Potenza

log_a(b^k) = k · log_a(b)

Radice

log_a(ⁿ√b) = (1/n) · log_a(b)

Cambiamento di Base

log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)

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Parametri Funzione

y = log_a(x - x₀) + y₀

Base (a)2.0

Traslaz. x₀0.0

Traslaz. y₀0.0

Punto x1.0

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Dominio e Valori

Dominio: x > 0
Asintoto: x = 0

                            y = log2(1 - 0) + 0 = 0
                        

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Risoluzione Equazioni

Per risolvere un'equazione logaritmica, l'obiettivo è arrivare alla forma: log_a(f(x)) = log_a(g(x)) A quel punto si possono "togliere" i logaritmi e risolvere: f(x) = g(x) ⚠️ ATTENZIONE: Prima di risolvere, bisogna sempre porre le Condizioni di Esistenza (C.E.):

f(x) > 0
g(x) > 0

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Esempio Guidato

Risolvi: log₂(x + 1) = 3

1. C.E.: x + 1 > 0 ⇒ x > -1
2. Trasforma 3 in logaritmo: 3 = log₂(2³) = log₂(8)
3. Equazione: log₂(x + 1) = log₂(8)
4. Risolvi: x + 1 = 8 ⇒ x = 7
5. Verifica: 7 > -1? Sì, soluzione accettabile.

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Esercizi Avanzati

1. Equazione: log₃(2x - 5) = 2

C.E.: 2x - 5 > 0 ⇒ x > 2.5
log₃(2x - 5) = log₃(3²) = log₃(9)
2x - 5 = 9 ⇒ 2x = 14 ⇒ x = 7 (Accettabile)

2. Proprietà: log(x) + log(x-3) = 1 (in base 10)

C.E.: x > 0 e x > 3 ⇒ x > 3
log(x · (x-3)) = log(10)
x² - 3x = 10 ⇒ x² - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0 ⇒ x = 5 o x = -2
Per C.E., solo x = 5 è valida.