Integrali: Teoria, Sostituzione e per Parti

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Cos'è un Integrale?

L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione. Se la derivata calcola il tasso di variazione di una funzione, l'integrale ci permette di trovare la funzione originale a partire dal suo tasso di variazione.

∫

L'Integrale Indefinito

Si indica con il simbolo di integrale ∫ seguito dalla funzione integranda e dal differenziale \( dx \).

\[ \int f(x) dx = F(x) + c \]

Dove \( F(x) \) è una primitiva di f(x) (cioè \( F'(x) = f(x) \)) e \( c \) è una costante arbitraria.

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L'Integrale Definito (Significato Geometrico)

Quando l'integrale è calcolato tra due estremi a e b, esso rappresenta l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione \( f(x) \), l'asse x e le rette \( x = a \) e \( x = b \).

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]

Questo è noto come il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

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Proprietà Fondamentali (Linearità)

1. Regola della costante: Le costanti moltiplicative possono "uscire" dall'integrale.

\[ \int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx \]

2. Regola della somma: L'integrale di una somma è la somma degli integrali.

\[ \int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \]

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Tabella degli Integrali Notevoli

Questi sono gli integrali "di base" che derivano direttamente dalle regole di derivazione invertite. Imparali a memoria!

Funzione \( f(x) \)	Integrale Indefinito \( \int f(x) dx \)	Condizione
\( x^n \)	\( \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \)	\( n \neq -1 \)
\( \frac{1}{x} \)	\( \ln\|x\| + c \)	\( x \neq 0 \)
\( e^x \)	\( e^x + c \)
\( a^x \)	\( \frac{a^x}{\ln(a)} + c \)	\( a > 0, a \neq 1 \)
\( \sin(x) \)	\( -\cos(x) + c \)
\( \cos(x) \)	\( \sin(x) + c \)
\( \frac{1}{\cos^2(x)} \)	\( \tan(x) + c \)
\( \frac{1}{\sin^2(x)} \)	\( -\cot(x) + c \)
\( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)	\( \arcsin(x) + c \)
\( \frac{1}{1 + x^2} \)	\( \arctan(x) + c \)

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Integrazione Funzioni Razionali Fratte

Quando la funzione integranda è il rapporto tra due polinomi \( \frac{N(x)}{D(x)} \), si utilizzano tecniche algebriche per semplificare l'integrale a seconda del grado e del tipo di denominatore.

Esempio 1: Divisione tra polinomi (Grado N(x) \( \geq \) Grado D(x))

\[ \int \frac{x^2 - 3x - 1}{x - 3} dx \]

Analisi dei Gradi e Divisione Algebrica

Il grado del numeratore (2) è maggiore di quello del denominatore (1). Eseguiamo la divisione algebrica:
\( x^2 - 3x - 1 = x(x - 3) - 1 \)
Quindi il quoziente è \( Q = x \) e il resto è \( R = -1 \).
La frazione diventa: \( \frac{N}{D} = Q + \frac{R}{D} = x - \frac{1}{x - 3} \).

Scomposizione dell'Integrale

\[ \int x dx - \int \frac{1}{x - 3} dx \]

Risoluzione

\( \int x dx = \frac{1}{2}x^2 \) e \( \int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| \)

Risultato Finale

\[ \frac{1}{2}x^2 - \ln|x - 3| + c \]

Esempio 2: Scomposizione in fratti semplici (\( \Delta > 0 \))

\[ \int \frac{1}{x^2 + 3x - 4} dx \]

Fattorizzazione del Denominatore

Troviamo le radici di \( x^2 + 3x - 4 = 0 \): sono 1 e -4.
Quindi il denominatore si scompone come \( (x - 1)(x + 4) \).

Fratti Semplici (Metodo dei coefficienti da determinare)

Imponiamo: \( \frac{1}{(x - 1)(x + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 4} \)
Da cui \( 1 = A(x + 4) + B(x - 1) \).
Sostituendo \( x = 1 \), troviamo \( 1 = 5A \implies A = \frac{1}{5} \).
Sostituendo \( x = -4 \), troviamo \( 1 = -5B \implies B = -\frac{1}{5} \).

Scomposizione e Integrazione

\[ \int \left( \frac{1/5}{x - 1} - \frac{1/5}{x + 4} \right) dx \]

Otteniamo la somma di due logaritmi naturali.

Risultato Finale

\[ \frac{1}{5}\ln|x - 1| - \frac{1}{5}\ln|x + 4| + c \]

Esempio 3: Denominatore a radici complesse senza termine x (\( \Delta < 0 \))

\[ \int \frac{1}{x^2 + 25} dx \]

Individuazione dell'Arco-Tangente

L'integrale è della forma notevole \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) \).
In questo caso, \( a^2 = 25 \), quindi \( a = 5 \).

Risultato Finale

Applicando semplicemente la formula notevole:

\[ \frac{1}{5}\arctan\left(\frac{x}{5}\right) + c \]

Esempio 4: Denominatore a radici complesse con termine al numeratore (\( \Delta < 0 \))

\[ \int \frac{x + 1}{x^2 + 4} dx \]

Separazione del Numeratore

Scomponiamo la frazione in due parti, separando il termine in x dalla costante.

\[ \int \frac{x}{x^2 + 4} dx + \int \frac{1}{x^2 + 4} dx \]

Logaritmo (dopo aggiustamento del differenziale)

Il primo addendo è quasi l'integrale di una frazione \( \frac{f'(x)}{f(x)} \). Moltiplichiamo e dividiamo per 2:
\( \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 4} dx \implies \frac{1}{2}\ln|x^2 + 4| \)
(Notare che il modulo si può togliere essendo \( x^2+4 > 0 \)).

Arco-Tangente

Il secondo addendo è di nuovo l'integrale con l'arcotangente (\( a = 2 \)).
\( \int \frac{1}{x^2 + 4} dx \implies \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) \)

Risultato Finale

Sommando le due parti trovate:

\[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2} \ln(x^2 + 4) + c \]

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Integrazione per Sostituzione

Questo metodo disfa la regola della catena della derivazione. Se troviamo all'interno dell'integrale una funzione \( g(x) \) e la sua derivata \( g'(x) \), possiamo sostituire \( t = g(x) \).

\[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int f(t) dt \]

Esempio 1: Un classico \( e^{f(x)} \)

\[ \int 2x \cdot e^{x^2} dx \]

Scelta della Sostituzione

Notiamo che 2x è esattamente la derivata dell'esponente \( x^2 \).
Poniamo \( t = x^2 \)

Differenziale

Derivando \( t \) rispetto a \( x \) otteniamo \( \frac{dt}{dx} = 2x \), da cui:
\( dt = 2x dx \)

Sostituzione e Integrazione

Sostituiamo nel nostro integrale iniziale:

\[ \int e^t dt = e^t + c \]

Ritorno a x

Sostituiamo di nuovo \( t = x^2 \) per avere la soluzione finale.

Risultato: \( e^{x^2} + c \)

Esempio 2: Frazioni Trigonometriche

\[ \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} dx \]

Scelta della Sostituzione

Al denominatore c'è il coseno, al numeratore la sua derivata (quasi).
Poniamo \( t = \cos(x) \)

Differenziale

Derivando, \( dt = -\sin(x) dx \). Quindi \( \sin(x) dx = -dt \).

Sostituzione e Integrazione

\[ \int -\frac{1}{t^2} dt = -\int t^{-2} dt = -\left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) = \frac{1}{t} + c \]

Ritorno a x

Risultato: \( \frac{1}{\cos(x)} + c \)

Esempio 3: Frazione \( \frac{f'(x)}{f(x)} \)

\[ \int \frac{x}{x^2 + 1} dx \]

Scelta della Sostituzione

Notiamo che la derivata del denominatore è 2x. Abbiamo "chiaramente" x al numeratore. Poniamo \( t = x^2 + 1 \)

Differenziale

\( dt = 2x dx \) da cui \( x dx = \frac{1}{2} dt \).

Sostituzione e Integrazione

\[ \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + c \]

Ritorno a x

Risultato: \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + c \)

(Nota: il valore assoluto si omette perché \( x^2+1 \) è sempre positivo).

Esempio 4: Arcocotangente nascosta

\[ \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx \]

Scelta della Sostituzione

Notiamo che \( e^{2x} = (e^x)^2 \). La derivata di \( e^x \) è \( e^x \) stesso (che compare a num). Poniamo \( t = e^x \)

Differenziale

\( dt = e^x dx \)

Sostituzione e Integrazione

Sostituendo, otteniamo l'integrale immediato dell'arcotangente!

\[ \int \frac{1}{1 + t^2} dt = \arctan(t) + c \]

Ritorno a x

Risultato: \( \arctan(e^x) + c \)

Esempio 5: Funzioni innestate con Radice

\[ \int \cos(x) \cdot \sqrt{\sin(x)} dx \]

Scelta della Sostituzione

Sotto radice c'è la funzione, fuori c'è la sua derivata. Poniamo \( t = \sin(x) \)

Differenziale

\( dt = \cos(x) dx \)

Sostituzione e Integrazione

\[ \int \sqrt{t} dt = \int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + c \]

Ritorno a x

Ricordiamo che \( t^{\frac{3}{2}} \) vale \( t\sqrt{t} \).

Risultato: \( \frac{2}{3} \sin(x) \sqrt{\sin(x)} + c \)

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Integrazione per Parti

Utile per prodotti di funzioni. Deriva dalla formula di derivazione del prodotto. Consiste nello scegliere un Fattore Finito \( f(x) \) (da derivare) e un Fattore Differenziale \( g'(x) \) (da integrare).

\[ \int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) dx \]

Esempio 1: Polinomio \( \times \) Esponenziale

\[ \int x e^x dx \]

Scelta dei Fattori

Fattore Finito: \( f(x) = x \) (derivando scompare)
Fattore Differenziale: \( g'(x) = e^x \) (facile da integrare)

Derivazione e Integrazione

\( f'(x) = 1 \quad | \quad g(x) = e^x \)

Applicazione Formula

\[ x e^x - \int 1 \cdot e^x dx \]

Risultato Finale

\[ x e^x - e^x + c = e^x(x - 1) + c \]

Esempio 2: Polinomio \( \times \) Logaritmo

\[ \int x \ln(x) dx \]

Scelta dei Fattori

ATTENZIONE: \( \ln(x) \) è il peggior candidato per \( g'(x) \) perché non sappiamo ancora integrarlo! Fattore Finito: \( f(x) = \ln(x) \)
Fattore Differenziale: \( g'(x) = x \)

Derivazione e Integrazione

\( f'(x) = \frac{1}{x} \quad | \quad g(x) = \frac{x^2}{2} \)

Applicazione Formula

\[ \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2} dx \]

Risultato Finale

\[ \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + c \]

Esempio 3: Trucco del fattore "1" (Integrale del Logaritmo)

\[ \int \ln(x) dx \]

Scelta dei Fattori

Riscriviamo come \( \int 1 \cdot \ln(x) dx \).
Fattore Finito: \( f(x) = \ln(x) \)
Fattore Differenziale: \( g'(x) = 1 \)

Derivazione e Integrazione

\( f'(x) = \frac{1}{x} \quad | \quad g(x) = x \)

Applicazione Formula

\[ x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln(x) - \int 1 dx \]

Risultato Finale

\[ x \ln(x) - x + c = x(\ln(x) - 1) + c \]

Esempio 4: Polinomio \( \times \) Goniometrica

\[ \int x \sin(x) dx \]

Scelta dei Fattori

Fattore Finito: \( f(x) = x \)
Fattore Differenziale: \( g'(x) = \sin(x) \)

Derivazione e Integrazione

\( f'(x) = 1 \quad | \quad g(x) = -\cos(x) \)

Applicazione Formula

\[ -x \cos(x) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) dx \]

Risultato Finale

\[ -x \cos(x) + \sin(x) + c \]

Esempio 5: Caso "Ricorsivo"

\[ I = \int e^x \cos(x) dx \]

Prima Iterazione per Parti

\( f(x) = e^x, \; g'(x) = \cos(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = e^x, \; g(x) = \sin(x) \)

\[ I = e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) dx \]

Seconda Iterazione per Parti (su \( \int e^x \sin(x) dx \))

\( f(x) = e^x, \; g'(x) = \sin(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = e^x, \; g(x) = -\cos(x) \)

\[ \int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) - \int e^x(-\cos(x)) dx = -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) dx \]

La risoluzione algebrica

Sostituiamo quanto trovato al passo 2 nella riga del passo 1:

\[ I = e^x \sin(x) - \left( -e^x \cos(x) + \underline{ \int e^x \cos(x) dx } \right) \]

Si nota che l'ultimo termine è esattamente \( I \) (l'integrale che stiamo cercando!).

\[ I = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) - I \]

Risultato Finale

Spoostiamo \( -I \) a sinistra:

\[ 2I = e^x(\sin(x) + \cos(x)) \]

\[ I = \frac{1}{2} e^x (\sin(x) + \cos(x)) + c \]

Gli Integrali