La Circonferenza: Teoria, Formule ed Esercizi

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Definizione di Luogo Geometrico

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza costante (detta raggio, r) da un punto fisso detto Centro (C). d(P, C) = r

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Equazione (Nota Centro e Raggio)

Dato il centro C(α, β) e il raggio r, l'equazione canonica si ricava dalla formula della distanza tra punti: (x - α)² + (y - β)² = r²

📝

L'Equazione Generale

Sviluppando i quadrati dell'equazione canonica, otteniamo la forma generale (nota che i coefficienti di x² e y² sono uguali a 1 e manca il termine in xy): x² + y² + ax + by + c = 0

📍 Centro (C)

C ( -a / 2 ; -b / 2 )

📏 Raggio (r)

r = √[(-a/2)² + (-b/2)² - c]

⚠️ Condizione di Reale Esistenza

(-a/2)² + (-b/2)² - c ≥ 0

Se l'argomento della radice è negativo, la circonferenza non è reale.

3️⃣

Passaggio per 3 Punti

Per trovare a, b e c serve impostare un sistema di 3 equazioni in 3 incognite.

Se abbiamo tre punti A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) e C(x₃, y₃), sostituiamo le loro coordinate nell'equazione generale x² + y² + ax + by + c = 0.

x₁² + y₁² + ax₁ + by₁ + c = 0
x₂² + y₂² + ax₂ + by₂ + c = 0
x₃² + y₃² + ax₃ + by₃ + c = 0

🛠️

Estremi di un Diametro

Se il problema fornisce due punti A e B che sono gli estremi di un diametro:

Il Centro (C) è il punto medio del segmento AB.
Il Raggio (r) è la distanza tra C e B (oppure metà della distanza AB).
Usa l'equazione (x - α)² + (y - β)² = r².

Circonferenza Tangente a una Retta
Se conosciamo il centro C e la retta tangente t, il raggio r corrisponde alla distanza del punto C dalla retta t.
r = | ax_c + by_c + c | / √(a² + b²)

📏

Posizione Reciproca Retta - Circonferenza

Per studiare la mutua interazione tra una circonferenza e una retta o calcolare la tangente, ci sono due metodi principali: il metodo del Delta (come per la parabola) o il metodo geometrico (distanza centro-retta). Il secondo è sempre il più veloce!

📐 Metodo Analitico (con Δ)

Si mette a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta (o del fascio di rette).

Ottenuta l'equazione di 2° grado, se:
• Δ > 0 → Retta secante (2 intersezioni)
• Δ = 0 → Retta tangente (1 intersezione)
• Δ < 0 → Retta esterna (nessuna intersezione)

📏 Metodo Geometrico (Distanza C-retta)

Sfrutta la posizione del centro C e la distanza d dalla retta.

• d < r → Retta secante
• d = r → Retta tangente (da imporre per trovare i coefficienti della tangente)
• d > r → Retta esterna

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Regola dello Sdoppiamento (Punto sulla Circonferenza)

Se il punto P(x₀, y₀) appartiene già alla circonferenza, si usa la regola veloce dello sdoppiamento. Nell'equazione generale x² + y² + ax + by + c = 0, sostituisci:

x² diventa x · x₀
y² diventa y · y₀
x diventa (x + x₀) / 2
y diventa (y + y₀) / 2

⚙️

Gioca con l'Equazione

x² + y² + 0x + 0y + 0 = 0

Coeff. a0.0

Coeff. b0.0

Termine noto c-16.0

Centro: C( 0.0 ; 0.0 )

Raggio r: 4.00

1️⃣

Trovare Centro e Raggio

Data la circonferenza di equazione x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0, calcola le coordinate del centro e la misura del raggio.

I coefficienti sono: a = -4, b = 6, c = -12.

1. Centro (C):
X_c = -a / 2 = -(-4) / 2 = 2
Y_c = -b / 2 = -6 / 2 = -3
C( 2 ; -3 )

2. Raggio (r):
r = √[X_c² + Y_c² - c] = √[2² + (-3)² - (-12)] = √[4 + 9 + 12] = √25 = 5

2️⃣

Equazione noto Estremi Diametro

Trova l'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi A(1, 4) e B(-3, 2).

1. Il Centro della circonferenza è il punto medio del segmento AB:
X_c = (X_a + X_b) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1
Y_c = (Y_a + Y_b) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
C( -1 ; 3 )

2. Il raggio è la distanza di C da A (o da B):
r² = (X_a - X_c)² + (Y_a - Y_c)² = (1 - (-1))² + (4 - 3)² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
(Ne consegue che r = √5)

3. Usando l'equazione canonica (x - α)² + (y - β)² = r²:
(x - (-1))² + (y - 3)² = 5
(x + 1)² + (y - 3)² = 5
x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 - 5 = 0
x² + y² + 2x - 6y + 5 = 0

3️⃣

Retta Tangente in un Punto

Trova l'equazione della retta tangente alla circonferenza x² + y² - 2x - 4y = 0 nel suo punto P(2, 4) usando la regola dello sdoppiamento.

Prima verifichiamo che P(2, 4) appartiene: 2² + 4² - 2(2) - 4(4) = 4 + 16 - 4 - 16 = 0. Appartiene!

Applichiamo la Regola dello Sdoppiamento nel punto P(X₀, Y₀) = (2, 4):
- x² → x · 2 = 2x
- y² → y · 4 = 4y
- x → (x + 2)/2
- y → (y + 4)/2

Sostituiamo nell'equazione:
2x + 4y - 2·[(x + 2)/2] - 4·[(y + 4)/2] = 0
2x + 4y - (x + 2) - 2(y + 4) = 0
2x + 4y - x - 2 - 2y - 8 = 0
x + 2y - 10 = 0

In forma esplicita:
y = -1/2 x + 5